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2022/02/25

  • 過去問対策

開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算

開成学園 開成中学校過去問対策


2022年度開成中学入学試験は、出願者1206名 受験者1050名 合格者416名でした。

科目ごとの入試結果は 国語合格者平均点45.6点 受験者平均点 38.8点 算数合格者平均点60.7点 受験者平均点50.7点 理科合格者平均点54.0点 受験者平均点48.6点 社会合格者平均点54.6点 受験者平均点51.0点でした。

2022年度の開成中学校算数入試問題は、[1]小問集合4問 [2]立体図形 [3]場合の数 [4]時計算が出題されました。

今回は[4]時計算を解説します。時計算は スペースONEプロ家庭教師が2010年度,2014年度の開成中学の時計算を解説しています。

(1)は基本問題 (2)(3)が応用問題です。頻出問題は過去問を通して十分対策をとりましょう。


2010年度開成中学算数入試問題3.時計算解説解答へ

2014年度開成中学算数入試問題時計算解説解答へ


開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算 問題

 

開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算(1)解説解答

(1) 開成君の時計の長針と正しい時刻を指す時計の短針が同じ位置にくる場合を考えます。正しい時刻で1時間を過ぎた後、初めてそのようになるのは何時何分ですか。正しい時刻で答えなさい。

解説解答



12時55分に開成君の時計の長針と文字盤の12との間の角度は30度。

1時に正しい時刻を指す時計の短針と文字盤の12との間の角度は30度。

開成君の時計の長針と正しい時刻を指す時計の短針が同じ位置にくるのにかかる時間は 

短針が1分間に0.5度時計回りに回り、長針は1分間に6度ずつ同じ方向に回るから、

1分間に 6-0.5 = 5.5度ずつ差が縮まっていく。

よって差が無くなる = 短針と長針が重なるのは、正しい時刻を指す時計では1時から






開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算(2) 計算式で考える解説解答

(2) 正しい時刻で1時を過ぎたあと、(1)の時刻までの間で、aとbが等しくなるのは何時何分ですか。正しい時刻で答えなさい。

解説解答



開成君の時計で12時55分に短針と長針との間の角度aは 30 + 0.5×55 = 57.5度

正しい時刻を指す時計が1時に短針と長針の間の角度bは 30度

よって a = bとなる時刻は 正しい時刻を指す時計の長針と短針が重なってさらに差が広がるときになる。

a = 0°となるのは1時から



このとき 開成君の時計の角度bは



27.5°の差を正しい時刻を指す時計は1分間に5.5°ずつ差が開き、開成君の時計のは5.5°ずつ差を縮めていきので

a = bとなる時刻はa = 0°となってから



したがって 正しい時刻を指す時計では

 

開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算(2)別解 相似比で考える解説解答

(2) 正しい時刻で1時を過ぎたあと、(1)の時刻までの間で、aとbが等しくなるのは何時何分ですか。正しい時刻で答えなさい。

解説解答



正しい時刻を指す時計が1時のときの角度aは30° 

a = 0°となるのは1時から



開成君の時計では12時55分の角度bは 30 + 0.5×55 = 57.5度



開成君の時計で長針と短針が重なる時間は 正しい時刻を指す時計より5分遅れるので



このとき正しい時刻を指す時計の角度aは 5.5×5 = 27.5°

下のダイヤグラムの通り a = bとなるのは開成君の時計と正しい時刻を指す時計の交わるとき

 

27.5:27.5 = 1:1

よって 正しい時刻を指す時計の短針と長針が重なって 5÷2 = 2.5分後

 

開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算(3) 計算式で解く解説解答

(3) 正しい時刻で1時を過ぎたあと、(1)の時刻までの間で、aがbの2倍になる時刻をAとし、(1)の時刻を過ぎてから初めてaがbの2倍になる時刻をBとします。時刻Aから時刻Bまでの時間は何分何秒ですか。

解説解答

計算式で解く場合も簡単がダイヤグラムを書くと理解を整理できます。

別解のグラフの通り aがbの2倍になる時刻Aは a = bと B = 0の間



ここで下図のように a = 0のとき、aとbの角の差の2倍となる点Cをとる。角度が2倍となるので、短針と長針の動く速さも2倍として考える。



初めてaがbの2倍になる時刻Aは a = cとなるとき。

1回目にa = 0のとき、bの角度は27.5° よってcの角度は27.5×2 = 55°

よって 速さの出会い算より



b = c = 0 のとき a = 5.5×5 = 27.5°

速さの追いかけ算より

27.5 ÷ (5.5×2 – 5.5) = 27.5 ÷ 5.5 = 5分



時刻Aから時刻Bまでの間は




答  6分40秒




開成中学校2022年度算数入試問題4.時計算(3) 別解相似比と速さの比で解く解説解答

(3) 正しい時刻で1時を過ぎたあと、(1)の時刻までの間で、aがbの2倍になる時刻をAとし、(1)の時刻を過ぎてから初めてaがbの2倍になる時刻をBとします。時刻Aから時刻Bまでの時間は何分何秒ですか。

解説解答

下図のように a = 0のとき、aとbの角の差の2倍となる点Cをとる。角度が2倍となるので、短針と長針の動く速さも2倍として考える。

a = 0のとき、cの角度は27.5×2 = 55°

b = c = 0のとき、aの角度は5.5×5 = 27.5°

55:27.5 = 2:1 なので Aの時間は5分を2:1でわけた時間

また Bの時間は b = c = 0のとき、aの角度は27.5°

aが5分かかる時間をcはaの2倍の速さで進むので a = 0からb = c = 0となる時間と a = 0から a = c となる時間の比は 1:2

したがって 時刻Aから時刻Bまでの間は




答  6分40秒

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