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2021/11/13

  • 過去問対策

国学院大学久我山高校2021年度数学入試問題2.平面図形(円の性質と相似形)

國學院大學久我山高等学校過去問研究


國學院大學久我山高等学校の2021年度数学入試問題は 例年通り大問4題構成で、出題内容は1.小問集合10問 2.平面図形(円の性質と相似形) 3.整数の性質 4.関数のグラフ。出題傾向に変更が見られないので過去問で対策をとるのは非常に有効です。

今回は 2.平面図形を解説します。
 

                                   

国学院大学久我山高校2021年度数学入試問題2.平面図形(円の性質と相似形) 問題



国学院大学久我山高校2021年度数学入試問題2.平面図形(円の性質と相似形) (1)解説解答

 
(1) ADの長さを求めなさい。

解説解答


△ABD ∽ △BCD より AD:BD = BD:CD

DB = 3,CD = 1 なので AD = x とおくと

x:3 = 3:1

x = 9

答  9

国学院大学久我山高校2021年度数学入試問題2.平面図形(円の性質と相似形) (2)解説解答

 
(2) 3点ABCを通る円の半径を求めなさい。

解説解答



∠ABC = 90° なので、直径の円周角は90°であることにより 線分ABが直径になる。

AC = 9 + 1 = 10

よって 半径は 5

答  5

 

 

国学院大学久我山高校2021年度数学入試問題2.平面図形(円の性質と相似形) (3)①解説解答

 
(3) (2)の円周上に点Pをとり、BCの長さをmとする。① AB:BCを求めなさい。

解説解答



△ABC ∽ △BDC より AB:BC = BD:DC

BD = 3.DC = 1 

よって AB:BC = 3:1


答  3:1


別解 

直角三角形ABD において、三平方の定理より



直角三角形BDC において 三平方の定理より




答  3:1

国学院大学久我山高校2021年度数学入試問題2.平面図形(円の性質と相似形) (3)②解説解答

 
② 三角形BCPの面積が最も大きくなるとき、三角形BCPの面積を、mを用いて表しなさい。

解説解答



△BCPの面積が最大になるのは BP = CPの二等辺三角形になるとき。

辺BPの中点をMとすると、二等辺三角形の性質より直線PMは線分BCと垂直に交わり、面積が最大のとき直線PMは円の中心Oを通る。

AB:BC = 3:1,BC = m なので AB = 3m ∠ABC = ∠OMC = 90°なのでAB // OM

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