東京都立立川高等学校数学過去問研究
都立立川高校2021年度自校作成数学問題は例年通り大問4題構成ですが例年出題されていた4.空間図形に代わり平面図形とブロックとの融合問題が出出されました。
2021年度数学出題問題1.小問集合5問 2.関数のグラフ 3.平面図形 4.平面図形とブロックの融合問題の中から 今回は3.平面図形を解説します。作図や証明問題は過去問を繰り返して本番に備えましょう。
東京都立立川高等学校数学過去問研究
東京都立立川高校2021年度自校作成数学考査問題3. 平面図形 問題
東京都立立川高校2021年度自校作成数学考査問題3. 平面図形 問１解説解答
問1 右の図2は、図1において、頂点Aから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をDとし、頂点B，頂点Cからそれぞれ線分ADに平行に引いた直線と円との交点のうち、頂点B，頂点Cと異なる点をそれぞれE，Fとし、点Eと点Fを結んだ線分EFと線分ADとの交点をGとした場合を表している。AD = √3cmのとき、線分AGの長さは何cmか。
解説解答
正三角形ABCの外接円の中心をOとする。正三角形は外心，内心，重心が一致するので、AO = OD = 2：1(正三角形の重心)
また ∠FCB = ∠FEB = 90°(円Oの直径BFの中心角)，∠EBC = ∠EFC = 90°(円Oの直径ECの中心角)
よって 四角形EBCFは長方形。Oは長方形EBCFの対角線の交点となるので、GO = OD
よって AG：GO ：OE = 1：1：1
東京都立立川高校2021年度自校作成数学考査問題3.平面図形 問2(1)解説解答
問2 △ACJ ≡ △BCIであることを示し、4点A，B，C，Kは1つの円周上にあることを証明せよ。
解説
△ACJ と △BCIにおいて
△ABCは正三角形なので AC = BC ・・・①
△ICJは正三角形なので CJ = CI ・・・②
∠ACJ = ∠ACI + ∠ICJ = ∠ACI + 60°
∠BCI = ∠ACI + ∠BCA = 課kACI + 60°
よって ∠ACJ = ∠BCI ・・・③
①，②，③ より 二辺とその間の角がそれぞれ等しいので △ACJ ≡ △BCI
合同な三角形の対応する角は等しいので ∠KAC = ∠KBC
したがって円周角の定理の逆により 4点A，B，C，Kは1つの円周上にある。
東京都立立川高校2021年度自校作成数学考査問題3.平面図形 問2(2)解説解答
問2(2) ∠ABK = 18°，∠HBC = 28°であるとき、∠AJIの大きさは何度か。
解説解答
(1)より、△ACJ ≡ △BCIなので、∠CJA = ∠CJK = ∠CIB = ∠CIK
∠CJA = ∠CIKなので、円周角の定理の逆より 4点KCJIは同一円周上にある。
したがって ∠KCI = ∠KJI (弧IKの円周角)
また (1)より 4点ABCKは1つの円周上にあり、弧AC上に点Hはあるので。
∠KBH = ∠KCH (弧KHの円周角)
よって ∠KBH = ∠KCH = 60° – (18° + 28°) = 14°
したがって ∠AJI = ∠KBH = 14°
答 14°