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2021/02/16

慶応義塾高校2012年度数学入試問題7. 立方体の点移動と図形の分割

慶應義塾高等学校過去問研究

 

2012年度慶應義塾高校数学入試問題は、昨年度より 小問が減り 大問が1題増えましたが、全体のボリュームは例年通りでした。
出題内容は 1.小問集合4問 2.平面図形の対象軸と回転図形 3.二次関数のグラフ 4.約束記号 5.連立方程式の解 6.円の性質 7.立方体上の点移動と図形の分割でした。

今回は 慶應義塾高校数学頻出問題 7.立方体上の点移動と図形の分割を解説します。
 

                                   

慶応義塾高校2012年度数学入試問題 7. 立方体の点移動と図形の分割 問題

図のような一辺6cmの立方体ABCDーEFGHと、その辺上を動く点P,Qがある。




 点P,Qは同時に頂点Aを出発して、点Pは毎秒1cmの速さで辺AB上を点Bに向かって動き、点Bに到着した時点で停止する。点Qは毎秒3cmの速さでまず辺AD上を点Dに向かって動くが、点Dに到着したらすぐに辺DC上で同じ速さで点Cに向かって動き、点Cに到着した時点で停止する。
つぎのそれぞれの問いに答えよ。

(1) 点P.Qが同時に頂点Aを出発してから4秒後に、3点P,Q,Gを通る平面でこの立方体を切り取って出来る立体のうち、小さいほうの体積を求めよ。

(2) 点P,Qが同時に頂点Aを出発してから3秒後に、3点P,QGを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の面積を求めよ。

(3) 点P,Qが同時に頂点Aを出発してから2秒後に、3点P,Q,Gを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の多角形の周の長さを求めよ。

(4) 点P.Qが同時に頂点Aを出発してから1秒後に、3点P,Q,Gを通る平面が線分BFと交わる点をRとしたとき、線分PRの長さを求めよ。

慶応義塾高校2012年度数学入試問題 7. 立方体の点移動と図形の分割(1)解説


(1) 点P.Qが同時に頂点Aを出発してから4秒後に、3点P,Q,Gを通る平面でこの立方体を切り取って出来る立体のうち、小さいほうの体積を求めよ。
解説
 
Pの速さは毎秒1cmなので 4秒間に4cmすすみ、Qの速さは毎秒3cmなので 4秒間に12cmすすむ。

Aを同時に出発してから4秒後のP・Qの位置は図の通り

3点P,Q,Gを通る平面でこの立方体を切り取って出来る立体のうち、小さいほうの立体は

△PQBを底面積とする三角柱

よって 体積は  2×6÷2×6=36
 答   36cm3 


慶応義塾高校2012年度数学入試問題 7. 立方体の点移動と図形の分割(3) 解説解答

(3) 点P,Qが同時に頂点Aを出発してから2秒後に、3点P,Q,Gを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の多角形の周の長さを求めよ。
解説 
 
点P,Qが同時に頂点Aを出発してから2秒後に、3点P,Q,Gを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面図は 右図の通り。よって断面図は四角形PQGP’

各辺は直角三角形の斜辺になるので、三平方の定理より


 

慶応義塾高校2012年度数学入試問題 7. 立方体の点移動と図形の分割(4) 解説解答

(4) 点P.Qが同時に頂点Aを出発してから1秒後に、3点P,Q,Gを通る平面が線分BFと交わる点をRとしたとき、線分PRの長さを求めよ。
解説 
 
点P.Qが同時に頂点Aを出発してから1秒後に、3点P,Q,Gを通る平面は右図の通り。 
 
辺BC上にBQ’= 3cmとなる点をQとおき、

点Q点P,点C点B,点G点Rをそれぞれ結ぶ直線が交わる点をIとおく。

△IPB∽△IQQ’ より PB:QQ’=5:6 

IBの長さをχcmとすると

χ:χ+3=5:6

χ=15
 
 
また △IBE∽△ICG より IB:IC=15:21=5:7

よって BR:CG=5:7


 
 
 △PBRにおいて 三平方の定理より


 

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