慶応義塾高校2012年度数学入試問題　7.　立方体の点移動と図形の分割　問題

図のような一辺6cmの立方体ＡＢＣＤーＥＦＧＨと、その辺上を動く点Ｐ，Ｑがある。




　点Ｐ，Ｑは同時に頂点Ａを出発して、点Ｐは毎秒1cmの速さで辺ＡＢ上を点Ｂに向かって動き、点Ｂに到着した時点で停止する。点Ｑは毎秒3cmの速さでまず辺ＡＤ上を点Ｄに向かって動くが、点Ｄに到着したらすぐに辺ＤＣ上で同じ速さで点Ｃに向かって動き、点Ｃに到着した時点で停止する。
つぎのそれぞれの問いに答えよ。

(1) 点Ｐ．Ｑが同時に頂点Ａを出発してから４秒後に、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面でこの立方体を切り取って出来る立体のうち、小さいほうの体積を求めよ。

(2) 点P,Qが同時に頂点Aを出発してから３秒後に、３点P,QGを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の面積を求めよ。

(3) 点P,Qが同時に頂点Aを出発してから2秒後に、３点P，Q，Gを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の多角形の周の長さを求めよ。

(4) 点Ｐ．Ｑが同時に頂点Ａを出発してから1秒後に、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面が線分BFと交わる点をRとしたとき、線分PRの長さを求めよ。

慶応義塾高校2012年度数学入試問題　7.　立方体の点移動と図形の分割(1)解説

(1)　点Ｐ．Ｑが同時に頂点Ａを出発してから４秒後に、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面でこの立方体を切り取って出来る立体のうち、小さいほうの体積を求めよ。

解説

Pの速さは毎秒1cmなので　4秒間に4cmすすみ、Ｑの速さは毎秒3cmなので　4秒間に12cmすすむ。 Ａを同時に出発してから4秒後のＰ・Ｑの位置は図の通り 3点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面でこの立方体を切り取って出来る立体のうち、小さいほうの立体は △PQBを底面積とする三角柱 よって　体積は　　２×６÷２×６＝３６

答　　　３６ｃｍ3

慶応義塾高校2012年度数学入試問題　7.　立方体の点移動と図形の分割(2)　解説解答

(2)　点P,Qが同時に頂点Aを出発してから３秒後に、３点P,QGを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の面積を求めよ。

解説

図の通り長方形PQGF PF＝QGの長さは　三平方の定理より 長方形PQGFの面積

慶応義塾高校2012年度数学入試問題　7.　立方体の点移動と図形の分割(3)　解説解答

(3)　点P,Qが同時に頂点Aを出発してから2秒後に、３点P，Q，Gを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面の多角形の周の長さを求めよ。
解説
点P,Qが同時に頂点Aを出発してから2秒後に、３点P，Q，Gを通る平面でこの立方体を切ったときにできる断面図は　右図の通り。よって断面図は四角形PQGＰ’ 各辺は直角三角形の斜辺になるので、三平方の定理より

慶応義塾高校2012年度数学入試問題　7.　立方体の点移動と図形の分割(4)　解説解答

(4)　点Ｐ．Ｑが同時に頂点Ａを出発してから1秒後に、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面が線分BFと交わる点をRとしたとき、線分PRの長さを求めよ。
解説
点Ｐ．Ｑが同時に頂点Ａを出発してから1秒後に、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面は右図の通り。
辺ＢＣ上にＢＱ’= 3cmとなる点をＱとおき、 点Ｑ点Ｐ，点Ｃ点Ｂ，点Ｇ点Ｒをそれぞれ結ぶ直線が交わる点をＩとおく。 △IPB∽△IQQ’　より　PB：QQ’＝５：６　 IBの長さをχｃｍとすると χ：χ＋３＝５：６ χ＝１５
また △IBE∽△ICG　より　IB：IC＝１５：２１＝５：７ よって　BR：CG＝５：７
△PBRにおいて　三平方の定理より