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2021/04/25

  • 過去問対策

城北高校2020年度数学入試問題2.平面図形

城北高等学校過去問研究

2020年度城北高等学校数学入試問題は昨年同様大問5題構成でした。[1]小問集合4問,[2]図形に関する小問集合3問 [3]方程式の応用 [4]関数のグラフ [5]空間図形題が出題されました。

今回は2..平面図形に関する問題3問を解説します。角の二等分線の定理,中点連結定理,円に内接する四角形の性質を理解して解きましょう。


                                   

城北高校2020年度数学入試問題2.平面図形 問題

 

城北高校2020年度数学入試問題 2.平面図形(1) 解説解答

(1) 右の図で、Gは△ABCの重心,BG = CE,∠BEF = ∠CEFである。線分の比BD:DF:FCを最も簡単な整数の比で求めよ。

解説解答



ADは中線なので、BD = DC = ①:①・・・(1)

三角形の重心は中線を2:1に内分するので、BG:GE = 2:1,BE = EC なので

BE:EC = BG + GE:EC = 2 + 1:2 = 3:2

∠BED + ∠DECなので,角の二等分線の定理より BE:EC = BF:FC = [3]:[2]・・・(2)

(1),(2)より BD + DC = BF + FC =① + ① = [3] + [2] = ②:[5]

2と5の最小公倍数は10なので、BCの長さを10とすると、



答  BD:DF:FC = 5:1:4

 

城北高校2020年度数学入試問題2.平面図形 (3) 解説解答




① BDの長さを求めよ。

解説解答




直線ACと直線BDの交点をFとする。

△BFCと△BDEにおいて、

AC//DEより ∠BCF = ∠BED(平行線の同位角)

∠FBC = ∠DBE (同一)

二角相等より △BFC ∽ △BDE

よって BC:BE = FC:DE より 4:4 + 6 = 2:5  なので



△AFDと△BFCにおいて、

∠DAF = ∠CBF(弧CDの円周角)

∠AFD = ∠BFC(対頂角)

二角相等より △AFD ∽ △BFC

よって FD:FC = DA:CB より 



△BCF ∽ △BED より BF:BD = 2:5




② △ABDの面積を求めよ。






△FAD ∽ △FBCより △FADも∠DFA = 90°の直角三角形

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