城北高等学校過去問研究
2020年度城北高等学校数学入試問題は昨年同様大問5題構成でした。[1]小問集合4問,[2]図形に関する小問集合3問 [3]方程式の応用 [4]関数のグラフ [5]空間図形題が出題されました。
今回は2..平面図形に関する問題3問を解説します。角の二等分線の定理，中点連結定理，円に内接する四角形の性質を理解して解きましょう。
城北高校2020年度数学入試問題2.平面図形 問題
城北高校2020年度数学入試問題 2.平面図形(1) 解説解答
(1) 右の図で、Gは△ABCの重心，BG = CE，∠BEF = ∠CEFである。線分の比BD：DF：FCを最も簡単な整数の比で求めよ。
解説解答
ADは中線なので、BD = DC = ①：①・・・(1)
三角形の重心は中線を2：1に内分するので、BG：GE = 2：1，BE = EC なので
BE：EC = BG + GE：EC = 2 + 1：2 = 3：2
∠BED + ∠DECなので，角の二等分線の定理より BE：EC = BF：FC = [3]：[2]・・・(2)
(1)，(2)より BD + DC = BF + FC =① + ① = [3] + [2] = ②：[5]
2と5の最小公倍数は10なので、BCの長さを10とすると、
解説解答
ADは中線なので、BD = DC = ①：①・・・(1)
三角形の重心は中線を2：1に内分するので、BG：GE = 2：1，BE = EC なので
BE：EC = BG + GE：EC = 2 + 1：2 = 3：2
∠BED + ∠DECなので，角の二等分線の定理より BE：EC = BF：FC = [3]：[2]・・・(2)
(1)，(2)より BD + DC = BF + FC =① + ① = [3] + [2] = ②：[5]
2と5の最小公倍数は10なので、BCの長さを10とすると、
答 BD：DF：FC = 5：1：4
城北高校2020年度数学入試問題2.平面図形 (2) 解説解答
解説解答
△DEFと△DABにおいて、中点連結定理より EF//AB，EF：AB = 1：2
EF//ABなので、∠ABF = ∠EDF = 20°(平行線の同位角)
△BGFと△BCDにおいて、GF//CD，GF：CD = 1：2
GF//CDなので ∠GFB = ∠CDB = 56°(平行線の同位角)
よって ∠DFG = 180 – 56 = 124°
また EF：AB = 1：2，GF：CD = 1：2，AB = DCなので EF = FG したがって△EFGは二等辺三角形
∠EFG = ∠EFD + ∠DFG = 20 + 124 = 144°
よって ∠GEF = ∠FGE = (180 – 144)÷2 = 18
答 18°
城北高校2020年度数学入試問題2.平面図形 (3) 解説解答
① BDの長さを求めよ。
解説解答
直線ACと直線BDの交点をFとする。
△BFCと△BDEにおいて、
AC//DEより ∠BCF = ∠BED(平行線の同位角)
∠FBC = ∠DBE (同一)
二角相等より △BFC ∽ △BDE
よって BC：BE = FC：DE より 4：4 + 6 = 2：5 なので
△AFDと△BFCにおいて、
∠DAF = ∠CBF(弧CDの円周角)
∠AFD = ∠BFC(対頂角)
二角相等より △AFD ∽ △BFC
よって FD：FC = DA：CB より
△BCF ∽ △BED より BF：BD = 2：5
② △ABDの面積を求めよ。
△FAD ∽ △FBCより △FADも∠DFA = 90°の直角三角形
