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2021/01/29

  • 過去問対策

青山学院高等部2013年度数学入試問題6.平面図形円の性質と相似比

青山学院高等部過去問研究

 

2013年度青山学院高等部一般入試募集人員は男女あわせて約70名、応募者男子254名、女子332名,受験者男子203名、女子268名、合格者男子69名 女子75名 でした。

数学出題内容は 例年より小問が2問少なく3問、枝問各2~3の大問が1問多く5問でしたが、全体のボリュームに変更はありませんでした。大問の出題内容は 4方程式の応用(食塩水の濃度) 5.関数のグラフ 6.円の性質と相似比 7.立体図形の切断 8.三角柱に内接する球で、今年も頻出の確率・円周角が出題されていました。

今回は6 円の性質と相似比を解説します。
                                 

青山学院高等部2013年度 数学入試問題 6. 平面図形円の性質と相似比 問題

図のように,線分AB を直径とする円O に,AB=12,CD=DA=4 の四角形ABCDが内接している。

また,線分AC と線分BD の交点をE とする。



( 1 ) 線分BD の長さを求めよ。

( 2 ) 線分DE の長さを求めよ。

( 3 ) 線分BC の長さを求めよ。

( 4 ) 線分AC の長さを求めよ。

青山学院高等部数学入試問題6.平面図形 (1)解説解答

 
( 1 ) 線分BD の長さを求めよ。

解説



三角形ADBは ∠ADB=90°(直径の円周角)の直角三角形。

三平方の定理より 




青山学院高等部数学入試問題6.平面図形 (2)解説解答


( 2 ) 線分DE の長さを求めよ。

解説



△DAEと△DBAにおいて

∠ADB=∠EDA=90°

また CD=DAより ∠DAE=∠DBA

よって 二角相等より △DAE∞△DBA

AD:DE=BD:DA


青山学院高等部数学入試問題6.平面図形(4) 解説解答


( 4 ) 線分AC の長さを求めよ。

解説



△ABCは∠ACB=90°(直径の円周角)なので、

三平方の定理より

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