東京都立新宿高等学校過去問研究
2012年度都立新宿高等学校独自数学入試問題は例年通り1.小問集合，２．関数のグラフ ３．平面図形 ４．立体図形の問題構成でした。
今回は４ 立体図形を解説します。問１の最短距離で点を結ぶ問題は、高校受験立体図形では典型問題です。
今回は４ 立体図形を解説します。問１の最短距離で点を結ぶ問題は、高校受験立体図形では典型問題です。
都立新宿高校2012年度 数学入試問題 4.立体図形 問題
都立新宿高校2012年度数学入試問題4 立体図形の切断 (1) 解説解答
図１において ＥＰーＰＦ＝ｄｃｍとする。ｄの値が最も小さくなるとき、線分ＡＰの長さは何ｃｍか。
解説
展開図において
ＢＡの延長上に点Ｆを通りＡＰと平行となる直線を引き、その交点をＦ’とする。
∠ＥＡＰ＝∠ＡＦ’Ｆ＝60°
∠Ｆ’ＡＦ＝60°なので △ＡＦ’Ｆは正三角形 よって ＡＦ’＝Ｆ’Ｆ＝８ｃｍ
△ＡＥＰ∽△Ｆ’ＥＦ なので １２：ＡＰ＝（１２＋８）：８ より ＡＰ＝４．８
答 ４．８ｃｍ
都立新宿高校2012年度数学入試問題4 立体図形の切断 (2) 解説解答
解説
EP//BCより △ＡＥＰ∽△ＡＢＣ
よって △ＡＥＰは正三角形 なので ＡＥ＝ＥＰ＝12ｃｍ
点ＦからＡＰ上に垂線をおろし、その交点をＧとする。
△ＦＡＧの辺の比より ＡＧ＝４ｃｍ，ＦＧ＝４√3
三平方の定理より ＦＰ2＝（４√3)2＋８2＝１１２
ＦＰ＝４√7
△ＦＥＰの高さは （４√3)2ー６2＝７６ より ２√17
よって 面積は １２×２√19÷２＝１２√19・・・答
都立新宿高校2012年度数学入試問題4 立体図形の切断 (3) 解説解答
立体ＡーＥＰＦの体積は、立体ＡーＢＣＤの体積の何分のいくつか。
解説
四面体ＡーＥＰＦと四面体ＡーＢＣＤの体積比は
四面体ＡーＥＰＦ：四面体ＡーＢＣＤ＝ＡＥ×ＡＰ×ＡＦ：ＡＢ×ＡＣ×ＡＤ より
１２×１２×８：１６×１６×１６＝９：３２
よって 9/32