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2010年度和歌山県立高校入試問題(過去問) 解答解説

和歌山県立高等学校数学過去問研究

  

今回は和歌山県立高校の円と三平方の定理の問題を解説します。中心角・円周角・三平方の総合問題です。

問題 5

下の図で,2点Q,R は,半径4pの円Oと半径3pの円Pの交点である。
4点 S,T,U,Vは,2つの円の中心O,Pを通る直線と円との交点である。

また,OP=5p,∠OQP=90°である。
   
次の〔問1〕〜〔問4〕に答えなさい。
〔問1〕 TUの長さを求めなさい。
〔問2〕 ∠OPQ=a°のとき,∠OSQの大きさをaの式で表しなさい。
〔問3〕 ∠OPQ=∠QVRであることを証明しなさい。

〔問4〕 △OQSの面積を求めなさい。
t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、沖縄県の発表ではありません。

問1 解説解答

TUの長さを求めなさい。
解説
OP = 5cm

OU(円Oの半径) = 4cm

UP = OP - OU = 5 - 4 = 1cm

TU = TP( 円Pの半径) = - UP = 3-1 = 2cm
答   2cm
問2 解説解答
∠OPQ=a°のとき,∠OSQの大きさをaの式で表しなさい。
解説
△OQPは∠OQP = 90°の直角三角形なので、

∠QOT = 90 - a ・・・ 弧QUの中心角

よって ∠OSQ(弧QUの円周角) = ( 90 - a)÷2 = 45−a/2
答  45−1/2a
(3)解説解答
∠OPQ=∠QVRであることを証明しなさい。
解答
O とR,PとR を結ぶ。

△ OPQ と△ OPR において,

 OP= OP (共通) ・・・@

 OQ= OR (円O の半径) ・・・A

 PQ= PR (円P の半径) ・・・B

@,A,Bから,3辺が,それぞれ等しいので,

△ OPQ ≡△ OPR

よって,∠ OPQ =∠ OPR ・・・C

また,∠ QPR=∠ OPQ+ ∠ OPR ・・・D

円周角の定理から,∠ QVR =1/2∠ QPR ・・・E

C,D,Eから,∠ OPQ =∠ QVR

(4)解説解答

△OQSの面積を求めなさい。
解説
点Qから辺OPに垂線をおろし、直線OPとの交点をHとする。
△OPQの面積は OP×PQ÷2=OP×QH÷2なので
QH=4×3÷5=2.4
△SOQの面積は SQ×QH÷2 より
4×2.4÷2=4.8
答   4.8cu
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