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2010年度慶應義塾女子高等学校入試問題(過去問) 解答解説

慶應義塾女子高等学校数学過去問研究

2010年度慶応義塾女子高等学校数学入試問題は1.小問2問 2.関数 3.整数 4.平面図形の証明 5.立体図形と展開図 

例年通りの大問5題構成,出題内容,全問記述の解答形式でした。

昨年度よりやや易しく、解きやすく、標準レベルの出題でした。今回は5.立体図形と展開図を解説します。

問題5

図1のような1辺の長さが3の立方体がある。

この立方体の頂点Aから辺CD,辺GH上の点を通り頂点Fを経由して,さらに辺BC,辺AD上の点を通って点Hまでひもをかける。

そのひもの長さが最も短くなる場合にひもが辺CD,辺BC,辺AD上で通る点をそれぞれI,J,Kとし、線分AIと線分JKの交点をLとする。

次の問に答えよ。

(1)立方体の展開図に点Lの位置を図示せよ。

(2)線分AKの長さを求めよ。

(3)点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM:MBを求めよ。

(4)線分BLの長さを求めよ。

(5)この立方体において、線分FLの長さを求めよ。
スペースONEプロ家庭教師の解答で、慶應義塾女子高等学校の発表ではありません。

[1]解説解答

(1)立方体の展開図に点Lの位置を図示せよ。
解説
右図のように点Aと点F’,点H’と点F”を直線で結ぶ。

その交点が点Lである。
   
[2]解説解答
(2)線分AKの長さを求めよ。
解説
点Kの位置は右図の通り。
僥AKと僥EHは ∠AFD=∠EFH(共通),∠FAK=∠FEH=90° より 僥AK∽僥EH

FA:FE=2:3なので、AK:EH=2:3


1辺の長さが3なので、 AK=3×2/3=2
答   2 
[3]解説解答
(3)点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM:MBを求めよ。
解説
直線AF’と辺DCとの交点をNとする。

僥’EA∽凾mDA より AD:AE=1:3

よって DNの長さは 3×1/3=1
僊FL∽凾mHL より AF:HN=3×2:3+1=6:4=3:2

よって AL:LN=3:2

NからABに垂線をおろし、その交点をPとする。

僊ML∽凾`PN より AM:MP=3:2

DN=AP=1なので、

AM=1×3/5=3/5

AM:MB=3/5:3−3/5=1:4

答   1:4

[4]解説解答

(4)線分BLの長さを求めよ。
解説
凾`DNは AD=3,DN=1の直角三角形なので、AN2=32+12  AN=√10

AL:LN=3:2 なので AL=√10×3/5=3√10/5

凾`MLも凾aLMも直角三角形で、ML=共通なので

BL2=(3√10/5)2ー(3/5)2+(12/5)2=9

BL=3
答   3

[5]解説解答

(5)この立方体において、線分FLの長さを求めよ。
解説
BL=3, BF=3 なので、

凾kBFは直角二等辺三角形

三平方の定理より  線分FL=3√2
答   3√2 
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