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2010年度北海道立高校入試問題(過去問) 解答解説

北海道立高等学校数学過去問研究


今回は 北海道立高校数学入試問題4の二次関数のグラフを解説します。関数の座標と関数の式は高校入試の必出問題です。(1)(2)は基本問題、(3)は条件をグラフ上に書き込む面積分割問題です。

公立高校入試日まであと約2ヶ月。志望校の過去問で傾向をつかみ、類題を数多く解いて不得意問題に対応できるようにしましょう。

  

問題 4

スペースONEプロ家庭教師の解答で、北海道の発表ではありません。

(1) 解説解答

点Aのχ座標がー1のとき、点Aを通り、傾きが2である直線の式を求めなさい。
解説
点Aはy=−χ2上の点なので y=−1
傾きが2で(−1,−1)を通る直線の式は y=2χ+b にχ=−1,y=−1を代入して b=1
よって y=2χ+1

答  y=2χ+1
(2) 解説解答
@について、χの変動がー2≦χ≦0のとき、yの変域は0≦y≦8となります。このときaの値を求めなさい。 
解説
χの変動がー2≦χ≦0のとき、yの変域は0≦y≦8なので、


y=aχ2は(−2, 8)を通る放物線になる。


y=aχ2に χ=−2 y=8を代入して 8=a×(−2)(−2)より a=2
    答   2
(3)解説解答
点Aのχ座標をー2とし、点Aを通りχ軸に平行な直線とAのグラフとの交点のうち、点Aと異なる点をBとします。点Bとχ座標が等しい@のグラフ上の点をCとします。@のグラフ上に点Dを、χ座標がー3となるようにとります。四角形ABCDの面積が25のとき、aの値を求めなさい。
解説
条件に沿って考えていきましょう。
点Aのχ座標をー2とし、点Aを通りχ軸に平行な直線とAのグラフとの交点のうち、点Aと異なる点をBとします。

      点Aの座標は(-2, -4)  点Bは点Aを通りχ軸に平行な直線とAのグラフとの交点なので 点Bのy座標も-4になる。 よって点Bの座標は(2, -4)

 
点Bとχ座標が等しい@のグラフ上の点をCとします。

       点Cのχ座標は2 また 点Cは@のグラフ上の点なので、 y=4a
@のグラフ上に点Dを、χ座標がー3となるようにとります。

        点Dのχ座標がー3なので、 y座標は y=9a
点A,B,C,Dをグラフ上におくと下図の通り
四角形ABCDの面積が25

      点BDを直線で結ぶ。

      三角形ABDと三角形BCDの面積の和が25

      三角形ABDは底辺AB=4、高さ9a+4

      三角形BCDは底辺BC=4a+4、高さ3+2=5

    よって 4×(9a+4)÷2+(4a+4)×5÷2=25

    これを解いて a=1/4
答      1/4
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