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2010年度秋田県立高校入試問題(過去問) 解答解説

秋田県立高等学校数学過去問研究

今回は 秋田県立高校数学入試問題5の平面図形問題を解説します。

5はT,U,Vの中から指示された問題を答えます。それぞれ段階的に難易度が高くなっています。

Vは補助線を引いたり、相似形を見つけることが正答への道です。

  

問題 5-V

V 正方形ABCD について,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1) 図1のように,辺AD,BC の中点をそれぞれ点M,N とする。

折り目が点C を通り,点D が線分MN上にくるように折り返す。

点D が移った点をE とし,折り目を線分FC とする。

∠ EFC の大きさを求めなさい。

(2) 図2のように,点D が辺AB 上にくるように折り返し,折り目を線分GH とする。

点C,D が移った点をそれぞれI,J とし,線分BH と線分JI との交点をK とする。

AB =9cm,AG =4cmとするとき,四角形GJIH の面積を求めなさい。

(3) 図3のように,点L をAL:LD =3:2である辺AD 上の点とし,線分LC を折り目として折り返す。

点D が移った点をP,線分LP を延長した直線と辺AB との交点をQ とする。

線分AQ の長さは線分QB の長さの何倍か,求めなさい。
t

スペースONEプロ家庭教師の解答で、沖縄県の発表ではありません。

(1) 解説解答

(1) 図1のように,辺AD,BC の中点をそれぞれ点M,N とする。

折り目が点C を通り,点D が線分MN上にくるように折り返す。

点D が移った点をE とし,折り目を線分FC とする。

∠ EFC の大きさを求めなさい。
解説
EとBを結ぶ。

EC=DC(正方形の1辺)なので

BC=EC=ED なので

三角形BECは正三角形

∠ECB=60°

よって ∠DCE=90−60=30°

∠FCE=∠FCD=30÷2=15°

∠FEC=∠FDC=90°

∠EFC=90ー15=75

 
答  75°
(2) 解説解答
(2) 図2のように,点D が辺AB 上にくるように折り返し,折り目を線分GH とする。

点C,D が移った点をそれぞれI,J とし,線分BH と線分JI との交点をK とする。

AB =9cm,AG =4cmとするとき,四角形GJIH の面積を求めなさい。
解説
四角形GJIH =四角形GDCH 

よって 台形GDCHの上底9−4=5, 高さ9cm なので、下底HC=HIの長さを求めると良い。

AJの長さは三平方の定理より 5×5ー4×4=9 AJ=3cm

図のように △AGJ ∽ △BJK ∽ △IHK

AG:GJ:JK=4:5:3 の直角三角形

JB=9−3=6cm なので JK=6×5/4=7.5cm

KI=9−7.5=1.5cm

IH=HC=1.5×4/3=2cm

台形GDCHの面積は  (5+2)×9÷2=31.5

答   31.5cu
(3)解説解答
(3) 図3のように,点L をAL:LD =3:2である辺AD 上の点とし,線分LC を折り目として折り返す。

点D が移った点をP,線分LP を延長した直線と辺AB との交点をQ とする。

線分AQ の長さは線分QB の長さの何倍か,求めなさい。
解答
AQの長さをχとすると、QB=5−χ

図のように点QとCを直線で結ぶ。

LD=LP=2,  PQ=QB=5−χ

僊QLにおいて ∠LAQ=90°なので、三平方の定理より

2+χ2=(5−χ+2)2   これを解いて χ=20/7

AQ=7/20

QB=5−20/7=15/7

20/7÷15/7=4/3


答  4/3倍
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